У Пети есть чёрный ящик, в который можно кидать трёхзначный числа. Чёрный ящик складывает две первые цифры числа и две последних, а затем, если получившиеся число различные, записывает их в порядке возрастания и выбрасывает наружу получившиеся число. Если же числа одинаковые, то чёрный ящик выбрасывает 0. Петя бросил в ящик своё любимое трёхзначное число и обнаружил, что результат так же трёхзначный. Кинув получившиеся трёхзначное число в ящик, Петя получил любимое трёхзначное число своей сестры Ани. На какую цифру может заканчиваться любимое число Ани? Приведите все возможные примеры. ( посчитайте, , кучу времени думаю, ничего не выходит)

Подумал-подумал, ничего не понял. Составил программу, производящую указанные преобразования, посмотрел сначала полный список полученных чисел (и промежуточных сумм и чисел), затем- только для чисел, подходящих по условиям задачи. Тогда, понемногу дошло:

Сначала мы имеем трёхзначное (от 100 до 999) число вида:

abc

где a,b,c -это цифры, составляющие это число

Эти цифры должны быть в таком диапазоне:

1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9; 0 ≤ c ≤ 9

Далее, производим сложение цифр по формулам:

d = a + b; e = b + c

При этом получаем числа d,e в диапазоне:

1 ≤ d ≤ 18; 0 ≤ e ≤ 18

Учитывая, что из d,e нужно составить трёхзначное число, то либо d либо e нужны однозначные.

Получаем два варианта, в которых d,e должны быть в таких диапазонах:

1) 1 ≤ d ≤ 9; 10 ≤ e ≤ 18

2) 10 ≤ d ≤ 18; 1 ≤ e ≤ 9

Далее, большее число у нас пойдёт вторым, отсюда мы получим трёхзначное число вида:

(1÷9)(10÷18)

(первая цифра от 0 до 9, вторая и третья цифры: это число от 10 до 18)

Либо, его можно записать как:

(1÷9)1(0÷8)

Это число вышло из чёрного ящика в первый раз.

Кидаем его ещё раз, и видим, что сумма двух последних цифр всегда будет однозначным числом.

А значит, чтобы получить на выходе трёхзначное число, нам нужна двузначная сумма первых двух цифр.

Отсюда получаем, что первая цифра должна быть только 9.

В результате, мы получим две суммы: 10 и (1÷9)

Потом большая из сумм отправляется в конец и мы получим трёхзначное число вида:

(1÷9)10

Это число вышло из чёрного ящика во второй раз.

Последняя его цифра- всегда ноль.

Вот, для примера эти расчёты для некоторых подходящих чисел (все не буду, их аж 81 штука).

В формате (нач. число, две суммы, выход1, две суммы, выход2 (2 раза)):

182 9 10 910 10 1 110 110

183 9 11 911 10 2 210 210

184 9 12 912 10 3 310 310

185 9 13 913 10 4 410 410

186 9 14 914 10 5 510 510

187 9 15 915 10 6 610 610

188 9 16 916 10 7 710 710

189 9 17 917 10 8 810 810

190 10 9 910 10 1 110 110

273 9 10 910 10 1 110 110

274 9 11 911 10 2 210 210

. . .

954 14 9 914 10 5 510 510

963 15 9 915 10 6 610 610

972 16 9 916 10 7 710 710

981 17 9 917 10 8 810 810

990 18 9 918 10 9 910 910