У Васи и Пети есть по набору карточек с числами 1, 2, 3, …, 16. Вася их выкладывает в ряд, а Петя по кругу. Причем мальчики хотят, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа. Получится ли это сделать у Пети, получится ли у Васи?

Начнем строить цепочку.

Удобно начать с числа 16, так как это наибольшее число. Даже если рядом с ним поставить число 15, то их сумма даст 31, а значит все потенциальные квадраты должны быть не больше 31.

Итак, от 16 до 31 есть только один квадрат: 25. Значит, дополняем число 16 до 25 числом 9:

Число 9 до 25 мы только что дополняли, значит остается только дополнить его до 16 - числом 7:

Число 7 до 25 дополнить не можем (числа 18 среди карточек нет), значит остается дополнить его до 9 - числом 2:

Число 2: до 4 дополнить не можем, так как нужное в этом случае число 2 занято, до 9 дополняли только что, остается дополнить его до 16 - числом 14:

Число 14: до 16 дополнить не можем, так как нужное в этом случае число 2 занято, остается дополнить его до 25 - числом 11:

Число 11: можем дополнить только до 16 - числом 5:

Число 5: можем дополнить только до 9 - числом 4:

Число 4: можем дополнить только до 16 - числом 12:

Число 12: можем дополнить только до 25 - числом 13:

Число 13: можем дополнить только до 16 - числом 3:

Число 3. Только на этом шаге возникает несколько вариантов. Мы можем дополнить его до 4 или до 9. Пробуем дополнить до 4 - числом 1:

Число 1. Опять же, мы можем дополнить его до 9 или до 16. Пробуем дополнить до 9 - числом 8:

Число 8. До 9 его мы дополняли только что, до 16 дополнить его не можем (отсутствует еще одна восьмерка), до 25 также дополнить не можем (карточки 17 у нас нет). Тупик.

Значит, нужно вернуться назад и попробовать дополнить число 1 до 16 - числом 15:

Число 15: можем дополнить только до 25 - числом 10:

Число 10: можем дополнить только до 16 - числом 6:

Число 6. Для дополнения его до 9 нам нужна карточка 3, а она занята, до 16 мы его дополняли только что. Вновь тупик.

В этом случае, снова возвращаемся назад и дополняем число 13 до 9 - числом 6:

Число 6: можем дополнить только до 16 - числом 10:

Число 10: можем дополнить только до 25 - числом 15:

Число 15: можем дополнить только до 16 - числом 1:

Число 1: дополняем единственным оставшимся числом 8 - до 9:

Таким образом, ряд чисел составить получилось:

Однако, этот ряд не закольцовывается, так как сумма первого и последнего элемента равна 24 и не является квадратом.

Таким образом, выложить в ряд у Васи получится, а выложить по кругу у Пети не получится.

: у Пети - нет, у Васи - да