На непроводящей тепло нити висит металлический стержень. Как изменится потенциальная энергия стержня, если его охладить?​

Никак

Никак. Потенциальная энергия изменяется в случае перемещения тела в поле по силовым линиям (в нашем случае, в поле тяжести). Охлаждение изменит внутреннюю энергию тела.