Дан граф со степенями вершин 4 3 3 2 1 1. Как узнать сколько в этом графе ребер?

: 7

Очевидно, что две вершинами данного графа могут быть соединены не более чем тремя различными ребрами, ибо если бы можно было соединить 4-мя и более ребрами, то было бы две степени вершин не менее чем 4.

Достроим данный граф таким образом, чтобы любые две его вершины были соединены ровно тремя ребрами.

Достроенные ребра будут иметь красный цвет, а ребра изначального графа будут иметь синий цвет.

У каждого ребра поставим стрелочки прямого и обратного пути. (число стрелок вдвое больше чем ребер, цвет стрелки такой же как и у ребра)

Тогда, поскольку всего 6 вершин, то общее количество стрелочек в достроенном графе равно 15*6. (общее число стрелок равно сумме количеств всех стрелок прямого пути от каждой вершины).

Пусть степень некоторой вершины изначального графа равна n<=4, тогда количество идущих от него прямых синих стрелок равно n, а количество прямых красных стрелок равно: 5*3 - n = 15 - n.

Таким образом, общее количество красных стрелок равно:

(15-4) + (15 -3) + (15 - 3) + (15-2) + (15 - 1) +(15 -1) = 15*6 - 14

Тогда количество синих стрелок равно: 15*6 -( 15*6 - 14 ) = 14

А количество cиних ребер изначального графа равно: 14/2 = 7

P. S используя данный метод можно доказать, что у любого графа число ребер равно полусумме степеней его вершин.