1. Настя, восхищённая ароматом сирени, осторожно сорвала веточку.
Настя (какая?) восхищенная ароматом сирени - прич. оборот в середине предложения.
2. Старая женщина с папиросой во рту вышла из белой двери.
(Необособленное несогласованное одиночное определение - с папиросой во рту).
3. Леса, несмотря на тропический зной, не отличались тропической пышностью.
Оборот с предлогом "несмотря на" (значение уступки) в середине предложения выделяется запятыми.
4. Барсук, испуганный шумом, бросился в сторону и исчез из виду. (прич. оборот в середине)
5. Мой слуга, по причине тяжёлой поклажи, не мог за мной следовать.
Обособление обстоятельств причины с предлогами (благодаря, согласно, ввиду, вследствие) или с предложными сочетаниями по причине, по случаю, за неимением, в силу и др. выделяются запятыми.
6. Из его памяти не выходила Елизавета Киевна, с красными руками, в мужском платье, с жалкой улыбкой.
Ряд однородных несогласованных определений относится к имени собственному
7. Казак мой, вопреки приказанию, спал крепким сном.
Выделяется оборот с обстоятельством уступки с производным предлогом 'вопреки', разрывает подлежащее и сказуемое; можно заменить придаточным: хотя я дал указания)
8. Успокоенная ласковым мурлыканьем кота, она быстро уснула.
Причастный оборот находится перед определяемым словом и имеет обстоятельственное значение причины, выделяется запятой.
9. Четыре месяца назад я, согласно предписанию капитана, покинул шхуну.
Выделяется запятыми при условии, что оборот является распространенным и если он находится перед сказуемым, т. е. разделяет главные члены предложения – подлежащее и сказуемое.
10. Степь, блестящая серебристым ковылем, расстилалась перед нами. (прич. оборот)