4. На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?​

всегда

Расположим кусочки в порядке возрастания массы: m1 < m2 < . . . < m9. В одну группу положим 1-й, 3-й, 5-й и 7-й кусочки, в другую – 2-й, 4-й, 6-й и 8-й. Тогда m1 + m3 + m5 + m7 < m2 + m4 + m6 + m8. А если в первую группу добавить 9-й кусочек, то m1 + m3 + m5 + m7 + m9 > m2 + m4 + m6 + m8. Следовательно, достаточно разрезать 9-й кусочек.