Верно ли, что из 100 целых чисел всегда можно выбрать два таких, у которых сумма делится на 7​

В общем случае, не всегда.

Действительно,

при делении на 7 в остатке

может быть 0, 1, 2, 3. . . 6

Возьмём, например, 100 целых чисел, каждое из которых даёт остаток 1 при делении на 7.

то есть числа вида 7k+1, k€Z

Из них невозможно выбрать два числа, сумма которых кратна 7.

Действительно, пусть эти числа

(7k1+1 ) и (7k2+1)

(k1€Z, k2€Z)

сложим эти два числа :

(7k1+1)+(7k2+1) = 7(k1+ k2)+2

как мы видим, полученная сумма при делении на 7 даёт остаток 2, то есть не делится нацело на 7

: нет, утверждение неверно