На осі OZ знайти точку,рівновіддалену від двох площин x+4y-3z-2=0 та 5x+z+8=0

Відповідь: існує 2 шуканих точки: (0;0;3) і (0;0;-2. 5).

Відстань від точки (x0; y0; z0) до площини Ax + By + Cz + D=0 знаходиться за формулою:

|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2).

Оскільки шукана точка лежить на осі Z, то її координати мають вигляд (0;0;z).

Таким чином, відстань від неї до першої площини дорівнює

|1*0+4*0-3*z-2|/sqrt(1^2+4^2+(-3)^2)=|3z+2|/sqrt(26);

а відстань від неї до другої площини дорівнює

|5*0+0*0+1*z+8|/sqrt(5^2+0^2+1^2)=|z+8|/sqrt(26).

За умовою |3Z+2|/sqrt(26)=|z+8|/sqrt(26), тобто.

|3z+2|=|z+8|.

Дане рівняння еквівалентно сукупності двох:

3z+2=z+8,

яке має рішення

z=3;

і

(3z+2)=-(z+8),

яке має рішення

z=-2. 5.