Ответ:
1. Вот взошла луна златая. Взошла (сказуемое), луна (подлежащее).
2. Ночь. Улица. Фонарь. Аптека. Каждое из этих слов - подлежащее.
3. Весь мир - театр, и люди в нём - актёры. Мир (подлежащее), театр (сказуемое), люди (подлежащее), актёры (сказуемое).
4. Пусть заболею, пусть даже умру - вот тогда они не простят себе, что не подарили мне щенка. Заболею (сказуемое), умру (сказуемое), они (подлежащее), не простят (сказуемое), не подарили (сказуемое).
5. Мудрого не обманешь, глупого не переспоришь. Не обманешь (сказуемое), не переспоришь (сказуемое).
6. А не посидеть ли нам за чаем? Не посидеть (сказуемое).
7. Нужно было помнить всё рассказанное Дениской, чтобы понять его логику. Нужно было было (сказуемое), понять (сказуемое). Во время чтения нужно учитывать интонацию предложений (перечислительная интонация в назывных предложениях, пауза на месте тире, вопросительная интонация в 6 предложении).