В треугольнике ABC известно, что AC=7 и угол C равен двум углам B. Точки X и Y отмечены на стороне BC так, что AX перпендикулярна BC и AY перпендикулярна AB. Оказалось, что XY=2. Найдите BC

Відповідь:

17

Пояснення:

К прямоугольним треугольникам применим теоремму синусов:

1) △ВАХ: АХ/sinB=XB/cosB → АХ=XBsinB/cosB=XBtgB

2) /_YAX=/_B, так как /_У общий для △AXB и △YAB

△YXA: 2/sinB=AX/cosB → AX=2cosB/sinB=2ctgB

3) △AXC: AX/sinC=7 , /_C=2/_B → AX=7sin2B=

=14sinB ×cosB

a) из 1) 2) приравняем AX=AX → XB=2ctg^2 B

b) из 2) 3) AX=AX → 14sinB×cosB=2ctgB

sin^2 B=1/7 → cos^2 B=6/7

Из a) b) → BX=2 6/7×7/1=12

Рассмотрим △CXA: CX/cos 2B=7 → CX=7cos2B=7(cos^2 B - sin^2 B)=7×5/7=5

CB=CX+XB=5+12=17