Материальная точка движется по закону x = 2t, y = t². Выразите зависимость радиуса кривизны траектории от времени

Question

Физика

Conjurdred

3 year(s) ago

Материальная точка движется по закону x = 2t, y = t². Выразите зависимость радиуса кривизны траектории от времени

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

При движении по кривой ускорение материальной точки складывается из нормальной составляющей и тангенциальной (причем они ортогональны): $vec{a}=vec{a}_{n}+vec{a}_{tau}$

Найдём модули всех указанных векторов.

1) $vec{a}={ddot{x};ddot{y}}={0;2}implies a=2$

2) $vec{a}_{n}=dfrac{v^2}{R},vec{n}$ , где $R$ - радиус кривизны в данной точке (момент времени). Причём, $vec{v}={dot{x};dot{y}}={2;2t}=2,{1;t}implies v=2sqrt{1+t^2}$ . Таким образом, $a_{n}=dfrac{v^2}{R}=dfrac{4(1+t^2)}{R}$

3) $vec{a}_{tau}=dot{v}vec{tau}implies a_{tau}=dot{v}=dfrac{2t}{sqrt{1+t^2}}$

Поскольку $vec{a}=vec{a}_{n}+vec{a}_{tau}$ и $vec{a}_{n}perpvec{a}_{tau}$ , то из прямоугольного треугольника на трёх указанных векторах получим:

$bigg(dfrac{2t}{sqrt{1+t^2}}bigg)^2+bigg(dfrac{4(1+t^2)}{R}bigg)^2=2^2$

$4t^2+dfrac{16big(1+t^2big)^3}{R^2}=4(1+t^2)implies R=2big(1+t^2big)^{tfrac{3}{2}}$

. $R=2big(1+t^2big)^{tfrac{3}{2}}$

PS. Наиболее быстро можно получить с помощью дифференциальной геометрии.

Кривизной траектории выраженной явно $y=f(x)$ называется величина $k=dfrac{|f''|}{big(1+(f')^2big)^{frac{3}{2}}}$ , а радиусом кривизны - величина $R=dfrac{1}{k}$ .

Для нашей задачи, $y(x)=dfrac{x^2}{4}$ . Отсюда $|y''|=dfrac{1}{2}$ и $y'=dfrac{x}{2}=t$ .

Сразу же получаем $k=dfrac{tfrac{1}{2}}{big(1+t^2big)^{tfrac{3}{2}}}implies R=2big(1+t^2big)^{tfrac{3}{2}}$

6

PabloQuin

Oct 24, 2021

Материальная точка движется по закону x = 2t, y = t². Выразите зависимость радиуса кривизны траектории от времени

Другие вопросы: - Физика