У зрізаному конусі радіуси основ дорівнюють 5 см і 3 см. Через дві його твірні проведено переріз площиною, що відтинає від кіл основ дуги по 120°. Знайдіть площу (у см2) перерізу, якщо висота зрізаного конуса дорівнює корень із 2 см. ​

В усеченном конусе радиусы оснований равны 5 см и 3 см. Через две его образующие проведено сечение плоскостью, которая отсекает от оснований дуги по 120°. Найдите площадь (в см²) сечения, если высота усеченного конуса равна √2 см.

—————————

: 12 см²

Объяснение: Основания усеченного конуса параллельны, его образующие равны,⇒ основания сечения лежат в параллельных плоскостях, а плоскость сечения является равнобедренной трапецией.

Радиусы оснований и хорды, соединяющая их концы, образуют равнобедренные треугольники АОВ и СО1D c углами при вершинах О и О1, равными величине отсекаемых плоскостью сечения дуг, т. е. 120°.

Из суммы углов треугольника острые углы этих треугольников (180°-120°):2=30°.

По т. синусов АВ:sin120°=ОВ:sin30°, откуда АВ=5√3.

Аналогично СD=3√3

По свойству катета, противолежащего углу 30°, катет О1М=0,5•О1С=3/2 см.

Аналогично ОN=0,5•ОВ=0,5•5=2,5 см.

Для нахождения высоты MN трапеции АВСD проведем высоты(медианы) О1М в ∆ СO1D и ON в ∆ ВOA и опустим из М перпендикуляр МН на ОN.

ОН⊥АВ ⇒ по т. о 3-х перпендикулярах MN⊥АВ. MN - высота сечения.

OH=O1M=1,5 см

НN=2,5-1,5=1 MH=O1O=√2 см

В прямоугольном треугольнике МНN по т. Пифагора МN=√(MN^2+NH^2)=√(2+1)=√3 см

Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.

S(ABCD)=MN•(CD+AB)•1/2=(3√3+5√3)•1/2=12 (см²)