Прямая, проходящая через точку P - середину гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, перпендикулярна СР и пересекает катет АС в точке Е. прямые РЕ и ВС пересекаются в точке М, а прямые АМ и ВЕ в точке N. Найдите NE, если СЕ : ЕА = 2:1 и BC= 4 корень из 3

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АР=РВ;

СР⊥КМ;

КМ∩АС=Е

РЕ∩ВС=М

АМ∩ВЕ=N

CE:EA=2:1

Найти: NE.

Решение:

Соединим точки С и N.

1. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

СР - медиана (условие)

⇒АР=РВ=РС (свойство медианы, проведенной к гипотенузе)

2. Рассмотрим ΔNMC.

MK∩AC∩NB=E

Причем, СЕ:АЕ=2:1

⇒MK;AC;NB - медианы ΔNMC.

⇒СВ=ВМ=4√3; или СВ=8√3

3. Рассмотрим ΔСРМ - прямоугольный.

РВ - медиана (п. 2)

⇒РВ=СВ=ВМ=4√3 (свойство медианы, проведенной к гипотенузе)

РВ=РС=4√3 (п. 1)

4. Рассмотрим ΔСРМ - прямоугольный.

5. Рассмотрим ΔЕМС - прямоугольный.

МС²=МР*МЕ (метр. соотношения в п/у Δ)

192=12*ME⇒МЕ=16

По т. Пифагора:

6. Рассмотрим ΔЕВС - прямоугольный.

ЕВ²=ВС²+ЕС²=√112

ЕВ=4√7

7. EN:EB=2:1

⇒NE=2*4√7=8√7