посчитайте неравенства методом интервалов:а) (9x - 3x2)(x2 - 9) < 0б) 3x-10/x-5 ≤ 8

А) (9x - 3x^2)(x^2 - 9) < 0

Разложим на множители:

3x*(3 - x)(x - 3)(x + 3) < 0

Поменяем знаки в скобке (3 - x), при этом вперёд выносим минус:

-3x*(x + 3)(x - 3)(x - 3) < 0

Убираем этот минус, при этом меняется знак неравенства:

3x*(x + 3)(x - 3)^2 > 0

При x = 3 выражение слева равно 0.

Нам это не подходит, поэтому x ≠ 3.

При любом другом x будет (x - 3)^2 > 0, поэтому его можно не учитывать.

На 3 можно разделить, при этом знак неравенства не меняется.

Получаем систему условий:

{ x ≠ 3

{ x*(x + 3) > 0

По методу интервалов у нас есть две точки: -3 и 0.

Решение второго неравенства такое:

x принадлежит (-oo; -3) U (0; +oo)

С учётом первого неравенства

: x принадлежит (-oo; -3) U (0; 3) U (3; +oo)

Б) (3x - 10)/(x - 5) ≤ 8

Переносим 8 влево и приводим к общему знаменателю.

Цель: оставить справа 0.

Внимание! Просто так умножить 8 на (x - 5) НЕЛЬЗЯ!

(3x - 10)/(x - 5) - 8 ≤ 0

(3x - 10 - 8(x - 5)) / (x - 5) ≤ 0

(3x - 10 - 8x + 40)/(x - 5) ≤ 0

(30 - 5x)/(x - 5) ≤ 0

Поменяем знаки в скобке (30 - 5x) и вынесем 5 за скобки.

При этом поменяется знак неравенства.

5(x - 6)/(x - 5) ≥ 0

По методу интервалов у нас две точки: 5 и 6.

При этом x ≠ 5, но может быть = 6.

: x принадлежит (-oo; 5) U [6; +oo)