На диск, радиусом R = 0,5 м и массой m = 10 кг, намотана легкая и нерастяжимая нить. Определить момент импульса диска через 5 секунд, если к нити приложена сила F = 50 Н.

Дано:

R = 0,5 м

m = 10 кг

t = 5 с

F = 50 Н

L - ?

Решение:

Основное уравнение динамики вращательного движения:

I*ε = M

I = mR²/2 - момент инерции диска

M = F*R - момент силы

ε = M/I = Δω/Δt - угловое ускорение

На диск через верёвку действует сила F, которая приводит его во вращение. Момент импульса диска L равен:

L = I*ω

ε = Δω/Δt = (ω - ω₀)/(t - t₀), где ω₀, t₀ = 0 => ε = ω/t => ω = ε*t

L = I*ω = I*ε*t = I*(M/I)*t = M*t = F*R*t = 50*0,5*5 = 125 кг*м²/с

Решить можно и через теорему об изменении кинетической энергии:

∑A = ΔEк - сумма всех внешних сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии

∑A = A(F) = F*s

s = φ*R

φ = ε*t²/2 - диск приходит во вращение из состояния покоя =>

=> A(F) = F*(ε*t²/2)*R = F*(ω*t/2)*R = F*R*ω*t/2

ΔЕк = Ек - Eк₀ = Iω²/2 - Iω₀²/2; Iω₀²/2 = 0 => ΔЕк = Iω²/2

F*R*ω*t/2 = Iω²/2 | * (2/ω)

F*R*t = I*ω = L = 125 кг*м²/с

: 125 кг*м²/с.