Три числа, из которых третье равно 9, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 9 взять 5, то эти числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Question

Биология

Gogizhokh

3 year(s) ago

Три числа, из которых третье равно 9, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 9 взять 5, то эти числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

а) х = 1; у = 3

б) х = 25; у = 15

Обозначим неизвестные числа со ственно

как х и у .

Известно, что последовательность

x; y; 9

является геометрической прогрессией, т. е.

любой член прогрессии вычисляется по формуле

$b_{n}=b_{1} cdot q^{n-1} \ \ b_{n}= sqrt{b_{n - 1} cdot b_{n + 1}} \ b_{2}= sqrt{b_{1} cdot b_{3}} \ y = sqrt{xcdot9} = 3 sqrt{x}$

а последовательность

x; y; 5

является арифметической прогрессией, т. е. любой член прогрессии вычисляется по формуле

$a_{n}=a_{1} + d cdot({n-1}) \ \ a_{n} = frac{a_{n - 1} +a_{n + 1} }{2} \ a_{2} = frac{a_{1} +a_{3} }{2} \ y = frac{x + 5}{2}$

Это значит, что имеем систему:

$begin{cases}y = 3 sqrt{x} \ y = dfrac{x + 5}{2} end{cases} \ begin{cases}y = 3 sqrt{x} \ 3sqrt{x} = dfrac{x + 5}{2} end{cases} \ (6sqrt{x} )^{2} = x^{2} + 10x + 25$

Очевидно, что х ≥0, следовательно

$36x = {x}^{2} + 10x + 25 \ x^{2} - 26x + 25 = 0$

По Т. Виета:

$(x - 1)(x - 25) = 0 \ x_{1} = 1 \ x_{2} = 25$

Подставляем в систему

$smallbegin{cases} left[ begin{array}{l}x = 1 \ x = 25 end{array} right. \ y = 3 sqrt{x} end{cases}{ < }{=}{ > } left[ begin{array}{l} begin{cases}x = 1 \ y = 3 sqrt{x} end{cases} \ begin{cases}x = 25 \ y= 3 sqrt{x} end{cases} end{array} right. < = > left[ begin{array}{l} begin{cases}x = 1 \ y = 3 end{cases} \ begin{cases}x = 25 \ y= 15 end{cases} end{array} right.$