посчитайте уравнение $bf11^{log_6(2x-1)}-6^{log_{11}(2x+4)}=5$ Подбором легко угадывается корень х=3. 5Как доказать, что других корней нет?

Question

Алгебра

Milko

4 year(s) ago

посчитайте уравнение $bf11^{log_6(2x-1)}-6^{log_{11}(2x+4)}=5$ Подбором легко угадывается корень х=3. 5Как доказать, что других корней нет?

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

Замена 2x-7=t; $11^{log_6(t+6)}-6^{log_{11}(t+11)}=5; 11^{log_6(t+6)}-11=6^{log_{11}(t+11)}-6;$

обозначим a=11>b=6>1; $a^{log_b(t+b)}-a}=b^{log_a(t+a)}-b;$

$(t+b)^{log_ba}-a=(t+a)^{log_ab}-b; left(left((t+b)^{log_ba}-aright)+bright)^{log_ba}-a=t.$

Рассмотрим функцию $f(t)=(t+b)^{log_ba}-a; t>-b.$ Это - возрастающая функция, а уравнение может быть записано в виде

f(f(t))=t.

Как неоднократно было доказано в последнее время при решении других задач, такое уравнение при возрастающей функции равносильно уравнению

f(t)=t;

$(t+b)^{log_ba}-a=t; (t+b)^{log_b_a}=t+a;log_balog_a(t+b)=log_a(t+a);$

$log_b(t+b)=log_a(t+a); y=log_b(t+b)-log_a(t+a);$

$y'=dfrac{1}{(t+b)ln b}-dfrac{1}{(t+a)ln a}=dfrac{(t+a)ln a-(t+b)ln b}{(t+a)(t+b)ln aln b}>0,$

поскольку t+a>0; t+b>0; ln a>0; ln b>0: (t+a)>(t+b); ln a>ln b.

Поэтому функция y(x) возрастающая и может обращаться в ноль максимум в одной точке; t=0 угадываем (впрочем, о нем мы знали с самого начала решения); x=3,5.

: 3,5

410

shark

Oct 20, 2021

посчитайте уравнениеПодбором легко угадывается корень х=3. 5Как доказать, что других корней нет?

Другие вопросы: - Алгебра

посчитайте уравнение $bf11^{log_6(2x-1)}-6^{log_{11}(2x+4)}=5$ Подбором легко угадывается корень х=3. 5Как доказать, что других корней нет?