Можно ли квадрат разрезать на три четырёхугольника, в каждый из которых можно вписать окружность?​

Да.

Пусть квадрат ABCD, построим квадрат AHGE где H,E лежат на AD и AB соственно, со стороной AH=(√2-1)*AB, тогда в четырехугольники AHGE , DHGC, GECB можно вписать окружность. Так как

DH=AB-AH=(2-√2)*AB и CG=DH*√2=(2-√2)*√2*AB подставляя DH+CG=CD+HG (условие вписанной окружности) получаем верное утверждение.