№30. Сила тяжести, действующая на искусственный спутник Земли, равна 4 кН. Определите кинетическую энергию спутника, если радиус его круговой орбиты 10000 км. Ответ запишите в гигаджоулях (ГДж).

Дано:

Fтяж = 4 кН = 4*10³ Н

R' = 10000 км = 10000*10³ м = 10⁷ м

Ек - ?

Решение:

Ек = mυ²/2

Используем закон всемирного тяготения:

Fтяг = G*m*M/(R + h)²,

где М - масса Земли, R - её радиус, h - высота над поверхностью Земли, m - масса спутника

Приравняем эту формулу к формуле силы тяжести (потому что сила тяжести - это частный случай закона всемирного тяготения)

Fтяг = Fтяж

G*m*M/(R + h)² = mg | : m

GM/(R + h)² = g

Тогда мы можем выразить массу m из формулы силы тяжести:

Fтяж = mg

m = Fтяж/g = Fтяж/(GM/(R + h)²) = Fтяж*(R + h)²/(GM)

Пока ничего не будем делать с высотой h и остальными величинами (хотя переживать по поводу массы Земли и её радиуса не приходится - значения табличные). Мы знаем, что спутник движется по окружности - его движение является криволинейным. А всякое криволинейное движение происходит с ускорением. Тогда по Второму закону Ньютона:

Fтяг = ma = mυ²/L,

где L = R + h => Fтяг = mυ²/(R + h)

Снова приравняем к формуле силы тяжести:

mυ²/(R + h) = mg | : m

υ²/(R + h) = g

Теперь подставим вместо g его выражение из закона всемирного тяготения:

υ²/(R + h) = GM/(R + h)² | * (R + h)

υ² = GM/(R + h)

Отлично. Теперь можно подставлять выражения m и υ² в формулу кинетической энергии:

Ек = mυ²/2 = (Fтяж*(R + h)²/(GM) * GM/(R + h)) / 2 = Fтяж*(R + h)/2 - остаётся разобраться с h

В задаче указывают радиус орбиты. И ясное дело, что этот радиус будет равен сумме радиуса Земли и высоты над её поверхностью:

R' = R + h - выражаем h:

h = R' - R - подставляем в конечную формулу:

Ек = Fтяж*(R + (R' - R))/2 = Fтяж*R'/2 = 4*10³*10⁷/2 = (4/2)*10¹⁰ = 2*10¹⁰ = 20*10⁹ Дж = 20 ГДж

: 20.