batheДАЮ 100 Поинтов 1)У рівнобічну трапецію вписано коло. Бічна сторона точкою дотику ді-литься на відрізки завдовжки 16 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції. 2) Перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба до йогосторони, ділить цю сторону на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. Знайдітьплощу ромба. 3) Центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD, належать йогостороні СD. Знайдіть кути даного чотирикутника, якщо <ABD = 34°,<BAC = 41°.
1.
В точке касания — боковая сторона делится на отрезки: GA = 9; BG = 16.
Отрезки BE & BG — проведены с одной точки — B, и также являются касательными вписанной окружности.
Теорема о касательный, проведённых из одной точки такова: Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Изюминка здесь в том, что в точках касания — отрезки друг другу равны, что и означает, что: BE ≡ BG = 16.
Так как трапеция равнобедренная, то: HC = 16 => HC ≡ EC = 16 => BC = BE+EC = 16+16 = 32.
Одно и то же с отрезками: GE ≡ AF = 9; FD ≡ DH = 9 ⇒ AD = 9+9 = 18.
Теперь нам известны все стороны трапеции, то есть площадь (по теореме Брахмагупты) равна:
Вывод: S = 600см².
2. Перпендикуляр проведенный к стороне прямоугольного треугольника — является высотой проведенной к гипотенузе. Оно имеет такое свойство:
Тогда половина диагонали AC, или просто — гипотенуза AE — равна:
Теперь найдём катет ED:
Значит, площадь треугольника AED равна:
Так как диагонали ромба делят ромб на 4 равные части, то:
Вывод: Площадь равна 484см².
3.
Так как центр описанной окружности лежит на стороне CD, то CD — диаметр.
Так как CD — диаметр, то: <CBD = <CAD = 90° (оба вписанных угла — опираются на диаметр, то есть они равны градусной мере половины полукруга — 180/2 = 90°).
Так как: , то:
Около четырёхугольника можно описать окружность только в том случае, если сумма внутренних противоположных углов равна 180°, то есть:
Вывод: <B = 124°; <A = 131°; <D = 56°; <C = 49°.
Robert Thomas