В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C длина высоты CH равна 30. Радиусы вневписанных окружностей треугольников ACH и BCH, касающихся стороны CH, равны 18 и 25 соответственно. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Ладно, так. По многочисленным просьбам читателя.

См. чертеж

Для простоты и прозрачности смысла я обозначаю

с=AB, a = BC, b = AC, h = CH, x = BH, ρ1 = DE = DL = DF - радиус вневписанной окружности треугольника BCH, касающейся стороны CH, по условию ρ1 = 25.

Аналогично y = AH (проекция b на с), ρ2 = GJ=GK=GI радиус вневписанной окружности треугольника ACH, касающейся стороны CH, по условию ρ2 = 18.

Само собой c = x + y;

Смотрите пока только на треугольник BCH и окружность слева с центром в точке D.

Ясно что BL = BF, и BL + BF = BH + HC + CB = 2*p1 (p1 - полупериметр BCH).

То есть BL = p1.

Теперь надо использовать то что BHC - прямоугольный треугольник. Из этого следует, что DEHL - квадрат со стороной ρ1, поэтому

p1 - x = ρ1; или (a + h + x)/2 - x = ρ1; => ρ1 = (a + h - x)/2;

Аналогично ρ2 = (b + h - y)/2;

(все это была теория, которая есть в любом учебнике, а теперь собственно решение).

ρ1 + ρ2 = (a + h - x)/2 + (b + h - y)/2 = (a + b - c)/2 + h;

Или, если вспомнить, что радиус вписанной окружности r треугольника ABC как раз равен (a + b - c)/2, получится простое соотношение

r = ρ1 + ρ2 - h = 25 + 18 - 30 = 13.

Вот как-то так вроде.