Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1:2) , а так же уравнения высоты x-2x+1=0 и медианы 4x+y+2=0, проведённые из одной вершины

Question

Математика

Delazel

3 year(s) ago

Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1:2) , а так же уравнения высоты x-2x+1=0 и медианы 4x+y+2=0, проведённые из одной вершины

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

1) Координаты одной из трех вершин треугольника даны $C(1;2)$ .

2) Найдем координаты еще одной вершины, из которой проведены высота и медиана, пусть это будет вершина $A$ . Для этого решаем систему уравнений:

$left { {{x-2y+1=0} atop {4x+y+2=0}} right. =>left { {{x=2y-1} atop {4x+y+2=0}} right. =>left { {{x=2y-1} atop {4(2y-1)+y+2=0}} right.$

$8y-4+y+2=0$

$9y=2$

$y=frac{2}{9}$

$x=2*frac{2}{9} -1=frac{4}{9}-frac{9}{9}=-frac{5}{9}$

$A(-frac{5}{9};frac{2}{9})$

3) Зная координаты вершин $A(-frac{5}{9};frac{2}{9})$ и $C(1;2)$ , составим уравнение прямой АС по формуле:

$frac{x-x_A}{x_C-x_A} =frac{y-y_A}{y_C-y_A}$

Подставляя координаты точек А и С, получаем:

$frac{x-(-frac{5}{9} )}{ 1 -(-frac{5}{9} )} =frac{y-frac{2}{9} }{2- frac{2}{9} }$

$frac{x+frac{5}{9} }{ frac{14}{9} } =frac{y-frac{2}{9} }{ frac{16}{9} } =>frac{9x+5}{14}=frac{9y-2}{16}=>72x+40=63y-14$

$72x-63y+54=0$

$8x-7y+6=0$ - уравнение стороны $AC.$

4) С помощью данного уравнения высоты $x-2y+1=0$ , проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$ , составим уравнение этой стороны $BC$ .

$2x+y+p=0$ - это уравнение перпендикуляра к прямой $x-2y+1=0$ .

Точка $C(1;2)$ лежит на этом перпендикуляре, поэтому подставим её координаты и найдем $p$ .

$2*1+2+p=0$

$p=-4$

$2x+y-4=0$ - уравнение стороны $BC$ .

5) Найдем середину стороны $BC$ , которая образована пересечением медианы $4x+y+2=0$ и стороны $BC$ . Для этого решаем систему уравнений:

$left { {{4x+y+2=0} atop {2x+y-4=0}} right. =>left { {{x=-3} atop {y=-2x+4}} right. =>left { {{x=-3} atop {y=10}} right. =>K(-3;10)$ - середина стороны $BC$ ,

6) Найдем координаты точки $B$ , зная координаты точки $C(1;2)$ и точки

$K(-3;10)$ по формулам:

$x_K=frac{x_B+x_C}{2}=>-3=frac{x_B-1}{2} =>x_B=-5$

$y_K=frac{y_B+y_C}{2}=>10=frac{y_B+2}{2}=>y_B=18$

$B(-5;18)$

7) Зная координаты вершин $A(-frac{5}{9};frac{2}{9})$ и $B(-5;18)$ , составим уравнение прямой $AB$ по формуле:

$frac{x-x_A}{x_B-x_A} =frac{y-y_A}{y_B-y_A}$

$frac{x-(-frac{5}{9} )}{ -5 -(-frac{5}{9} )} =frac{y-frac{2}{9} }{18- frac{2}{9} }$

$frac{9x+5}{ -45 +5} =frac{9y-2}{162-2}=>frac{9x+5}{ -40} =frac{9y-2}{160}=>frac{9x+5}{ -1} =frac{9y-2}{4}=>$

$4(9x+5) =-1(9y-2)$

$36x+9y+18=0$

$4x+y+2=0$ - уравнение стороны $AB$ .

: $4x+y+2=0$ - уравнение стороны $AB$ .

$2x+y-4=0$ - уравнение стороны $BC$ .

$8x-7y+6=0$ - уравнение стороны $AC.$

176

whole

Oct 18, 2021

Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1:2) , а так же уравнения высоты x-2x+1=0 и медианы 4x+y+2=0, проведённые из одной вершины

Другие вопросы: - Математика