Маше дали набор чисел: - 15, - 15, 14, 14, 13, 13, - 13, 12, 12, - 12, - 12, 11, 11, - 11, - 11 и поручили в вершины шестнадцатиугольника вписать по одному числу. Затем Маша сложила числа в противоположных вершинах и полученные суммы перемножила. Какое наименьшее положительное число у неё могло получиться?

: 4

Докажем, что если разместить 16 чисел: - 15, - 15, 14, 14, 13, 13, - 13, -13, 12, 12, - 12, - 12, 11, 11, - 11, - 11 в вершинах шестнадцатиугольника и найти все 8 сумм чисел в противоположных вершинах, то получим не менее двух четных сумм.

Предположим, что все такие 8 сумм оказались нечетными, но тогда в каждой паре противоположных вершин одно из чисел будет четным, а второе будет нечетным (чтобы сумма двух натуральных чисел была нечетной, эти натуральные числа должны иметь разную четность), но тогда среди данных чисел должно быть ровно 8 четных и ровно 8 нечетных натуральных чисел.

Перечислим все четные числа:

14, 14, 12, 12, -12, - 12 - 6 четных чисел, то есть мы пришли к противоречию, а значит все суммы чисел в противоположных вершинах не могут быть нечетными.

Предположим теперь, что одна сумма в противоположных вершинах четна, а все остальные такие суммы нечетны, тогда сумма всех чисел в шестнадцатиугольнике равна сумме 7 нечетных чисел и одного четного, то есть является нечетным числом, но сумма всех чисел в шестнадцатиугольнике равна:

-15+(- 15)+14+14+13+13+(- 13)+ (-13)+12+12+(-12)+ (-12)+ 11+11+ (-11) +(-11) = - 2 - четна, то есть мы пришли к противоречию, а значит среди данных 8 сумм не может быть ровно одной четной.

Таким образом, из доказанного выше следует, что как минимум две суммы из данных восьми сумм чисел в противоположных вершинах будут четными, но тогда произведение данных восьми сумм будет не менее 4.

Приведем пример такого построения, чтобы произведение таких сумм было равно 4:

(-15+14)*(-15+14)*(13-11)*(13-11)*(-13+12)*(-13+12)*(-12+11)*(-12+11) = -1*(-1)*2*2*(-1)*(-1)*(-1)*(-1) = 4

Послесловие:

Необходимо понимать, что мы расставляем числа так, чтобы ни одна из сумм в противоположных вершинах не была равна 0, ибо мы сразу получаем произведение всех сумм равным 0, а 0 положительным числом НЕ ЯВЛЯЕТСЯ!!!