Актуально до 07. 10. 2021 до 08. 00 по МСК $intlimits^a_b {sqrt{2+cox3x*sin3x} } , dx$ Интеграл неопределенный ( не знаю как убрать а и в). Посчитайте интеграл подробно.

Question

Алгебра

Mariana

3 year(s) ago

Актуально до 07. 10. 2021 до 08. 00 по МСК $intlimits^a_b {sqrt{2+cox3x*sin3x} } , dx$ Интеграл неопределенный ( не знаю как убрать а и в). Посчитайте интеграл подробно.

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

$intlimits^a_b {sqrt{2+cos(3x)*sin(3x)} } , dx =intlimits^a_b {sqrt{2+frac{2*sin(3x)*cos(3x)}{2} } } , dx =intlimits^a_b {sqrt{2+frac{sin(6x)}{2} } } , dx.$

Преобразуем подкоренное выражение интеграла:

$2+frac{sin(6x)}{2}=frac{4+sin(6x)}{2}=frac{5-1+sin(6x)}{2}=frac{5}{2} +frac{-1+sin(6x)}{2} =frac{5}{2} +frac{-1+cos(frac{pi }{2}- 6x)}{2} =$

$frac{1-cosalpha }{2}=sin^2frac{alpha }{2} |*(-1)\frac{-1+cosalpha }{2}=-sin^2frac{alpha }{2}. Rightarrow\$

$=frac{5}{2}+(-sin^2(frac{frac{pi }{2}-6x }{2}))=frac{5}{2}-sin^2(frac{pi }{4}-3x)=frac{5}{2}-sin^2(3x-frac{pi }{4})=frac{5}{2}*(1-frac{2*sin(3x-frac{pi }{4}}{5} ) .$

$3x-frac{pi }{4} =uRightarrowfrac{du}{dx}=3Rightarrowdx=frac{du}{3} . \frac{sqrt{5} }{3*sqrt{2} } intlimits^a_b {sqrt{1- frac{2*sin^2u}{5}} } ,du.$

$intlimits^a_b {sqrt{1-frac{2*sin^2u}{5} } } , du,$ для этого интеграла существует специальная функция (нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)):

$=E(u|frac{2}{5} ) |^a_b.$

Производим обратную замену:

$=frac{sqrt{5}*E(3x-frac{pi }{4}|frac{2}{5})}{3*sqrt{2} }|^a_b=frac{sqrt{5}*E(3a-frac{pi }{4}|frac{2}{5})}{3*sqrt{2} }-frac{sqrt{5}*E(3b-frac{pi }{4}|frac{2}{5})}{3*sqrt{2} }+C.$

481

Neonanyac

Oct 20, 2021

Актуально до 07. 10. 2021 до 08. 00 по МСКИнтеграл неопределенный ( не знаю как убрать а и в). Посчитайте интеграл подробно.

Другие вопросы: - Алгебра

Актуально до 07. 10. 2021 до 08. 00 по МСК $intlimits^a_b {sqrt{2+cox3x*sin3x} } , dx$ Интеграл неопределенный ( не знаю как убрать а и в). Посчитайте интеграл подробно.