Если центростремительное ускорение направлено к центру, скорость по касательной, то почему тело "прижимает" от центра. Откуда берется сила, выталкивающая тело от центра, хотя ускорение направлено в центр, значит и сила направлена в центр. И почему эти две силы не компенсируют друг друга и тело все равно ощущает приложенную силу

Это так называемая "центробежная сила", возникающая при движении тел в неинерциальных системах отсчета.

Направлена против центростремительной силы. По модулю равна ей.

Как известно, вектор скорости тела, движущегося по дуге окружности, направлен по касательной к дуге. Вот "благодаря" центростремительной силе тело, тело и "выталкивается" от центра (инерция).