Две окружности радиусов 9 и 4 касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.

Рассмотрим две окружности, касающиеся внешним образом.

MK, AB - общие касательные

MA=MK=MB; MO1, MO2 - биссектрисы (т об отрезках касательных из одной точки)

∠O1MO2 =90 (биссектрисы смежных углов перпендикулярны)

∠MKO1 =90 (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)

MK =√(O1K*O2K) =√(ab) (высота из прямого угла)

AB =2MK =2√(ab)

Теперь рассмотрим три окружности, для каждой пары выполняется предыдущее условие: касаются внешним образом и общей внешней касательной (c - меньший радиус).

AM =2√(ac)

BM =2√(bc)

AB =2√(ab) =AM+BM

=> √(ab) =√(ac) +√(bc) | :√(abc)

=> 1/√c = 1/√a + 1/√b

Два случая:

1) x - меньший радиус

1/√x =1/√4 +1/√9 => 1/√x =1/2 +1/3 =5/6 => x=36/25 =1,44

2) 4 - меньший радиус

1/√4 =1/√x +1/√9 => 1/√x =1/2 -1/3 =1/6 => x=36