Докажите задачу используя мат. индукцию

Question

Математика

Anadi

3 year(s) ago

Докажите задачу используя мат. индукцию

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

Что мы будем использовать: последовательность $left(1+dfrac{1}{n}right)^n$ монотонно возрастает и имеет конечный предел; этот предел обозначается буквой e. Первые цифры числа e все знают. Для нас достаточно знать, что

$2le(1+frac{1}{n})^n<e.$

1) $left(dfrac{n}{e}right)^n<n!.$ При n=1 неравенство очевидно. Предположим, что оно справедливо при некотором n, и докажем, что тогда оно справедливо при n+1. Итак, нужно доказать, что $left(dfrac{n+1}{e}right)^{n+1}<(n+1)!.$ Имеем:

$(frac{n+1}{e})^{n+1}=(frac{n}{e})^ncdot (frac{n+1}{n})^ncdotfrac{n+1}{e}<n!cdot(1+frac{1}{n})^ncdotfrac{n+1}{e}<frac{(n+1)!}{e}cdot e=(n+1)!$

2) $n!<eleft(dfrac{n}{2}right)^n.$ При n=1 неравенство очевидно. Предположив, что при некотором n неравенство справедливо, докажем, что $(n+1)!<e(frac{n+1}{2})^{n+1}.$

Имеем:

$(n+1)!=n!cdot (n+1)<e(frac{n}{2})^ncdot (n+1)=frac{e}{2^n}cdot(frac{n}{n+1})^ncdot (n+1)^{n+1}=$

$efrac{(n+1)^{n+1}}{2^n}cdot dfrac{1}{(1+frac{1}{n})^n}le efrac{(n+1)^{n+1}}{2^n}cdot frac{1}{2}=e(frac{n+1}{2})^{n+1}.$

Доказательство завершено благодаря тому, что все натуральные числа расположены "по порядку" одно за другим, и есть первое натуральное число (принцип домино: если доминошки расположить на боку одну рядом с другой на небольшом расстоянии друг от друга в виде змеи, и уронить первую доминошку на вторую, то вторая упадет на третью, третья на четвертую и так далее, пока не упадут все).

102

Albert

Oct 18, 2021

Докажите задачу используя мат. индукцию

Другие вопросы: - Математика