Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо: а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины; в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.

Так как по условию число выстрелов не ограничено, то случайная величина X - число сделанных выстрелов - может принимать значения от 1 до ∞. Найдём соствующие вероятности:

p1=0,05; p2=(1-0,05)*0,5; . . . pn=0,05*(1-0,05)^(n-1); . . .

Проверка: данные вероятности составляют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом b1=p1 и знаменателем q=(1-p)=0,95. Её сумма ∑pi=p1(1-q)=0,05/0,05=1 - значит, вероятности найдены верно.

а) составляем закон распределения случайной величины X:

xi 1 2 . . . n . . .

pi 0,05 0,05*(1-0,05) 0,05*(1-0,05)^(n-1)

б) находим математическое ожидание:

M[X]=∑xi*pi=p1+2*p2+. . . +n*pn+. . .

Для нахождения суммы данного ряда запишем ряд для вероятностей ∑pi в виде: ∑pi=∑p1*z^(n-1), где z=1-0,05, и продифференцируем его:

d/dz∑pi=∑p1*(n-1)*z^(n-2)=p1+2*p1*z+3*p1*z². . . +n*p1*z^(n-1)+. . .

Так как ∑pi=p1/(1-z), то d/dz∑pi=[p1/(1-z)]'=p1/(1-z)². А теперь замечаем, что p1*z=p2, p1*z²=p3,. . . , p1*z^(n-1)=pn. Отсюда следует, что M[X]=d/dz∑pi=p1/(1-z)²=0,05/(0,05)²=1/0,05=20.

Теперь находим дисперсию. Используем формулу:

D[X]=M[X²]-M²[X]. Найдём M[X²]:

M[X²]=∑n²*pn=∑n²*p1*z^(n-1). Для нахождения суммы данного ряда возьмём ряд для M[X] и продифференцируем его:

d/dz∑n*p1*z^(n-1)=∑p1*n*(n-1)*z^(n-2)=∑p1*(n²-n)*z^(n-2)=∑p1*n²*z^(n-2)-∑p1*n*z^(n-2). Умножая теперь это равенство на z, получаем: z*dM[X]/dz=∑p1*n²*z^(n-1)-∑p1*n*z^(n-1). Отсюда ∑p1*n²*z^(n-1)=z*dM[X]/dz+∑p1*n*z^(n-1). Но так как М[X]=p1/(1-z)², то dM[X]/dz=2*p1/(1-z)³, откуда z*dM[X]/dz=2*p1*z/(1-z)³=760. Отсюда M[X²]=760+20=780 и D(X]=780-20²=380.

в) пусть событие А состоит в том, что поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов. Рассмотрим противоположное событие В - потребуется менее 5 выстрелов. Так как события А и В несовместны и притом образуют полную группу, то P(A)+P(B)=1, откуда P(A)=1-P(B). Но P(B)=p1+p2+p3+p4=0,18549375. Отсюда P(A)=0,81450625.