К корзине воздушного шара привязана верёвочная лестница, на конце которой стоит человек массой 50 кг. Вся система находится в воздухе в состоянии равновесия. Когда человек поднялся по лестнице в корзину, она опустилась на четверть длины лестницы. Чему равна масса корзины с шаром?​

Дано:

m = 50 кг

L

M - ?

Решение:

Когда человек начинает подниматься, то система "человек-шар" приходит в движение. Человек начал двигаться вверх со скоростью υ, а шар - вниз со скоростью V. Предполагается, что человек поднимается с постоянной скоростью. Лестница связана с корзиной шара, а корзина - с самим шаром, т. е. лестницу можно считать частью шара. Человек, поднимаясь, действует на лестницу (а значит - и на шар) с силой F. Согласно 3-ему закону Ньютона шар действует на человека с той же силой F, но обратной по направлению. Ну а из 3-его закона Ньютона вытекает закон сохранения импульса, который гласит, что импульс изолированной системы тел, которые взаимодействуют только друг с другом, не меняется с течением времени:

р = р'

В начале, когда система покоится, её импульс равен нулю:

р = 0

После того, как человек стал подниматься по лестнице вверх, а шар - опускаться вниз, импульс системы также равен нулю:

р' = 0

Тогда рассмотрим сумму импульсов шара и человека. Направим координатную ось вверх, тогда импульс человека будет сонаправлен с осью, а импульс шара - противонаправлен ей (будет иметь знак "минус"):

mυ + (-MV) = 0 => mυ = ΜV => M = mυ/V

Взаимодействие шара и человека мы рассматриваем относительно земной поверхности. Если шар опустился на четверть длины лестницы, то человек поднялся на 3/4 её длины. Оба движения - человека и шара - произошло за один и тот же промежуток времени t. Значит, если известны перемещения и время, за которое они совершены, то мы можем выразить скорость каждого из тел как отношение s к t:

s_шара = (1/4)*L

s_человека = (3/4)*L

υ = s_человека/t = ((3/4)*L) : t = 3L/(4t)

V = s_шара/t = ((1/4)*L) : t = L/(4t)

Подставляем:

M = mυ/V = m*(υ/V) = m*3L/(4t) : L/(4t) = m*3L/(4t)*4t/L = 3m = 3*50 = 150 кг

: 150 кг.