Расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра вписанной окружности равно 4 корней из 2, а площадь треугольника равна 80. Найдите длину гипотенузы. ​

: 16.

Из ц. окружности опускаем перпендикуляры на стороны треугольника. Получили квадрат OMCN со стороной равной радиусу r окружности

По т. Пифагора 2r²=(4√2)² => 2r²=32 => r²=16 => r=4.

Площадь квадрата OMCN = 4²=16;

Площадь треугольника АОВ = (SABC - SОМСN)/2 = (80-16)/2=32;

или площадь треугольника АОВ = АВ*ОК/2;

AB*4/2=32 => AB*4=64 => AB=16.