В окружности с центром в точке О перпендикулярно хорде MN проведен диаметр EF, P – точка их пересечения, PE > PF, EN = 14 см. Найдите периметр треугольника EMN, если угол РNE на 30° больше угла РEN. ​

Периметр Δ EMN = 14 см

Обозначим ∠РEN = x

⇒ ∠РNE = x+30

Так как EF ⊥ MN ⇒ ∠EPN = 90°

Рассмотрим Δ EPN:

Зная что сумма углов любого треугольника = 180°

⇒ ∠РEN + ∠РNE + ∠EPN = 180

Подставляем значения, получаем уравнение:

x + x + 30 + 90 = 180

2x = 180 - 90 - 30

2x = 60

x = 60/2

x = 30° ⇒ ∠РEN = 30°

Зная что ∠РNE на 30° больше ∠ РEN

⇒ ∠РNE = 30° + 30° = 60°

Т. к. диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Отсюда следует, что MP=PN

Рассмотрим Δ EPN и Δ EPM:

У них MP=PN, ∠EPN = ∠EPM = 90°, а EP общая ⇒ эти треугольники равны ⇒ у них все стороны и углы соственно равны.

⇒ ∠EMP = ∠ENP = 60°

Рассмотрим Δ EMN:

У него ∠EMN = ∠ENM = 60°

⇒ ∠MEN = 180° - (60° + 60°) = 60°

А треугольник у которого все углы равны - называется равносторонним ⇒ EN = MN = ME = 14 см

Зная длины всех сторон треугольника - вычисляем периметр:

P = EN + MN + ME = 14 + 14 + 14 = 42 см