В окружность радиуса R вписан квадрат. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата – величина постоянная, и найти эту сумму.

Пусть M — произвольная точка меньшей дуги AB окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Обозначим

AM = x, CM = z, BM = y, AB = BC = AC = a.

Воспользуемся известным равенством: CM = AM + BM, или z = x + y.

Поскольку $ angle$AMC = $ angle$BMC = 60o, а $ angle$AMB = 120o, то по теореме косинусов из треугольника AMB находим, что

x2 + y2 + xy = a2, или x2 + y(x + y) = a2.

Поскольку x + y = z, то x2 + yz = a2.

По теореме косинусов из треугольника CMB находим, что

z2 + y2 - zy = a2.

Подставив вместо zy в это равенство a2 - x2, получим:

z2 + y2 + x2 = 2a2.

Это значит, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника ABC равна одной и той же величине 2ao.