Парень кидает камень с высоты "h" и слышит звук падения ровно через 10 секунд. С какой высоты кидает камень парень, если g=9. 8 м/c^2, а скорость звука равна 343 м/c?А если он услышит звук через 15 секунд?

Дано:

t1 = 10 c

t2 = 15 c

g = 9,8 м/с²

υ = 343 м/с

h - ?

Решение:

Очевидно, что камень упал за меньшее время, чем время, через которое парень услышал звук падения. Обозначим это время как разность времени t1 и t' (t' - это время, за которое звук преодолел расстояние h со скоростью υ):

τ = t1 - t'

Предполагаем, что парень кинул камень с начальной скоростью, равной нулю. Тогда камень падал свободно. Составим два уравнения высоты h:

h = g*τ²/2 = g(t1 - t')²/2

h = υ*t'

Приравняем одно к другому:

g(t1 - t')²/2 = υ*t' | * 2

g(t1 - t')² = 2υ*t'

g(t1² - 2t1*t' + t'²) = 2υ*t'

gt1² - 2gt1*t' + g*t'² = 2υ*t'

g*t'² - 2gt1*t' - 2υ*t' + gt1² = 0

g*t'² - 2(gt1 + υ)*t' + gt1² = 0

Получили квадратное уравнение. Найдём корни через вывод дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-2(gt1 + υ))² - 4*g*gt1² = 4*(gt1 + υ)² - 4*g²t1² = 4*((gt1 + υ)² - g²t1²) = 4*((gt1 + υ) + gt1)*(gt1 + υ) - gt1) = 4*(2gt1 + υ)*υ = 4*υ*(2gt1 + υ)

t' = (-b +/- √D) / (2a)

t'_1 = (-b + √D) / (2a) = ( 2(gt1 + υ) + √(4*υ*(2gt1 + υ)) ) / (2g) = ( 2(gt1 + υ) + 2√(υ*(2gt1 + υ)) ) / (2g) = 2*( (gt1 + υ) + √(υ*(2gt1 + υ)) ) / (2g) = ( gt1 + υ + √(υ*(2gt1 + υ)) ) / g

t'_2 = ( gt1 + υ - √(υ*(2gt1 + υ)) ) / g

Теперь нужно проанализировать полученные выражения обоих корней. Допустим, что g = 10 м/с², t1 = 10 c, а υ = 300 м/с. Эти цифры взяты для удобства расчётов. Высчитаем первый корень:

t'_1 = ( gt1 + υ + √(υ*(2gt1 + υ)) ) / g = ( 10*10 + 300 + √(300*(2*10*10 + 300)) ) / 10 = ( 400 + √(300*500) ) / 10 = 78,7 с

Это значение недопустимо, потому что общее время t1 гораздо меньше полученного значения, да и время τ должно быть положительным:

τ = t1 - t' = 10 - 78,7 = -68,7 - не подходит

Тогда остаётся второй корень. Подставим его выражение во второе уравнение высоты, чтобы высчитать высоту сразу:

h = υ*t' = υ*( gt1 + υ - √(υ*(2gt1 + υ)) ) / g = 343*( 9,8*10 + 343 - √(343*(2*9,8*10 + 343)) ) / 9,8 = 343*( 98 + 343 - √(343*(196 + 343)) ) / 9,8 = 343*(441 - √(343*539)) / 9,8 = 343*(441 - 429,97) / 9,8 = 343*11,03/9,8 = 386,05 = 386 м

Найдём высоту, если звук достиг парня через 15 секунд. То есть, в таком случае мы будем использовать t2 вместо t1:

h = υ*t' = υ*( gt2 + υ - √(υ*(2gt2 + υ)) ) / g = 343*( 9,8*15 + 343 - √(343*(2*9,8*15 + 343)) ) / 9,8 = 790 м

: 386 м, 790 м.