Задание 3 (16 поинтов). Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если ∠B = 30°, ∠C = 105°, AC = 4 см. Промежуточные вычисления округлите до сотых.

1. Теорема: сумма угловΔ-ка = 180°. Из этого следует:

∠А = 180° - 30° -105° = 45° → ∠А = 45°

2. Из ∠С построим высоту СО:

СО⊥ АВ.

Рассмотрим ΔАОС.

∠АОС = 90° по построению,

∠А = 45°, значит, ∠АСО =90°- 45° = 45°.

Следовательно, ΔАОС - равнобедренный и

АО=СО.

По т. Пифагора:

АС² = АО² + СО² → АС² = 2СО² или

4² = 2*СО²

СО² = 16/2 = 8 → СО = √8 = 2√2.

СО = АО = 2√2

3. Рассмотрим ΔСОВ.

∠СОВ = 90° по построению

∠В = 30°

СО = 2√2 - катет, лежащий против угла в 30°.

Теорема: В прямоугольном Δ - ке против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

СВ = 2СО= 2 * 2√2 = 4√2

ОВ² =СВ² - СО² = (4√2)² - (2√2)² = 32 - 8 = 24

ОВ = √24 = 2√6

АВ = АО + ОВ = 2√2 +2√6

:

∠А = 45°

СВ = 4√2 ≈ 4* 1,41 = 5,64(см0

АВ = 2√2 +2√6 = 2* 1,41 +2*2,45 = 2,82 + 4,9 = 7,72 (см)