|x(x-1)(x-2)|>=d(x)/2Где d(x) это расстояние от x до ближайшего целого числа. Докажите, что это неравенство верно для любого x

Самое проблемное место этой задачи - найти явный вид функции

Немного подумав, несложно заметить, что целые числа идут друг за другом с шагом в единицу, а значит любое действительное число отстоит от ближайшего целого не более чем на 0. 5 и не менее чем на 0.

Понятно, что должна быть периодической, коль целые числа встречаются с перидом 1. Нарисовав эту зависимость для, например, всех из [0, 1], мы "повторением" можем получить искомую . Видно, что это обычный модуль:

где и

Теперь, когда известен вид , все остальные операции превращаются в типичное сравнение двух функций на разных интервалах. Больше всего внимания нужно уделить небольшой окрестности, в которой расположены нули полинома . Она как раз и нарисована на графике в прекрепленных файлах.

Рассмотрю лишь один один интервал, остальные делаются аналогично.

Пусть , тогда эквивалентно

что справедливо для всех

Проверив похожие неравенства для прочих интервалов, мы тем самым решим задачу.