шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1

Шар вписан в конус. найти наименьший объём конуса, если радиус шара равен 1.

Решение.

1) Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел : равнобедренный ΔАВС , высота ВН , точка О-центр вписанной окружности. К-точка касания окружности со стороной АВ. По условию ОН=ОК=1 ед.

Пусть ВН=h , AH=R. Vкон=1/3*Sосн*h , Sосн=π*R²

Выразим объём через высоту конуса.

Отрезок ВО=ВН-ОН=h-1

По т. Пифагора , ΔABH , АВ²=АН²+ВН²=R²+h² .

2) ΔКВО~ ΔHBA по двум углам(∠В-общий,∠ВКО=АНВ=90° тк радиус перпендикулярен касательной , проведенной в точку касания).

Значит КО:АН=ВО:АВ или 1:R=(h-1): √(R²+h²) ⇒ R²= .

3) V(h)= = = .

V' =

= , V'=0, при h=4 .

V' _ _ _ _(4) + + + +

V ↓ ↑ , значит h=4 точка минимума. Наименьший объём достигается в точке минимума .

V = ⇒ V= ед³ .