Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 12 см и 18 см. Найти катеты прямоугольника и периметр, если радиус вписанной окружности равен 6 см. посчитайте

Question

Геометрия

Geraldine Green

3 year(s) ago

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 12 см и 18 см. Найти катеты прямоугольника и периметр, если радиус вписанной окружности равен 6 см. посчитайте

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

Я опробовала много способов решения задачи — зная радиус, но в конце концов сделала вывод, что он нам совсем не нужен.

Нам достаточно знать всего лишь отрезки, полученные делением точки касания на гипотенузе.

Теорема о касательных такова: 2 касательные, проведённые с одной точки, в точках касания — равны друг другу.

То есть: BE == BD = 12 (так как оба отрезка проведены с общей точки B).

И ещё: FC == DC = 18 (то же определение).

И также: KE == KF (оба проведены с одной точки (K)).

По теореме Пифагора, гипотенуза равна: $displaystyle\BC = sqrt{KC^2+BK^2}\BC = sqrt{(BE+EK)^2+(KF+FC)^2}\FC = 18; BE = 12; KE == KF = x Rightarrow\\BC = sqrt{(12+x)^2+(18+x)^2}\(12+x)^2 = 144+24x+x^2\(18+x)^2 = 324+36x+x^2\BC = sqrt{144+24x+x^2+324+36x+x^2}\BC = sqrt{468+60x+2x^2}\\BC = 12+18 = 30 Rightarrow\\30 = sqrt{468+60x+2x^2}\30^2 = 468+60x+2x^2\900 = 468+60x+2x^2\432 = 60x+2x^2\60x+2x^2-432 = 0.$

Найдём Дискриминант:

$displaystyle\D = b^2-4ac\b = 60; a = 2; c = -432\\D = 60^2-4*2*(-432)\D = 3600+3456\D = 7056\\x_1 = frac{-b+sqrt{D}}{2a}\x_2 = frac{-b-sqrt{D}}{2a}\\x_1 = frac{-60+sqrt{7056}}{2*2}\\x_1 = frac{24}{4} Rightarrow x_1 = 6\\\x_2 = frac{-60-sqrt{7056}}{2*2}\\x_2 = frac{-144}{4} Rightarrow x_2= -36.$

Следовательно:

$displaystyle\x = 6 => KC = 6+18 = 24 cm;\BK = 6+12 = 18 cm$

Следовательно:

$P = BK+BC+KC\P = 18+30+24\P = 72 cm.$

$displaystyle\ x = 6 => KC = 6+18 = 24 cm;\BK = 6+12 = 18 cm.$

Вывод: KC = 24см; BK = 18см; P = 72см.

12

Stanka

Oct 22, 2021

Другие вопросы: - Геометрия