Дан четырёхугольник ABCD, который можно вписать в окружность. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точке K. Докажи, что треугольники BKC и DKA подобны. ​

Дано:

Окружность (O;r)

4-угольник ABCD - вписан в (O;r)

продолж. ВА пересек. продолж. CD в т. К.

Доказать:

∆BКС ~ ∆DКA

Доказательство:

Если 4-угольник можно вписать в окружность =>

=> сумма двух противоположных углов равна 180°:

Обозначим для удобства

Обратим внимание, что прямые КВ и КС можно расценивать как развернутые (180°) углы: уг. KAB и уг. КDC

Представив развернутые углы KAB и КDС,как сумму углов, их составляющих

(КАD + BAD и КDA + CDA соственно) ,

выразим через них углы КAD и КDA:

А это означает, что:

Также, вследствие того что:

(по сути, АВС и КВС - это один и тот же угол,

DCA и КСА - аналогично).

Рассмотрим ∆BКС и ∆DКA:

Что и требовалось доказать.