1. На хоккейном поле лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 2019 раз. Могут ли после этого все шайбы остаться на исходном месте?​

Не могут.

Решение

Будем называть расположение шайб правильным, если обходя вершины треугольника ABC в порядке A-B-C, мы получим обход по часовой стрелке, и неправильным в противном случае. Легко видеть, что при каждом ударе тип расположения меняется. Значит, после каждого нечётного удара, расположение шайб будет иным, нежели в самом начале.