ПРОШУ ОЧЕНЬ В прямой треугольной призме MKNM1K1N1 треугольник MKN - равнобедренный прямоугольный, у которого угол NKM = 90 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если NN1 =3NK и площадь боковой поверхности пирамиды KMNK1 равна 3,5 см квадратных

Question

Геометрия

Nuadasius

3 year(s) ago

ПРОШУ ОЧЕНЬ В прямой треугольной призме MKNM1K1N1 треугольник MKN - равнобедренный прямоугольный, у которого угол NKM = 90 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если NN1 =3NK и площадь боковой поверхности пирамиды KMNK1 равна 3,5 см квадратных

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

Площадь боковой поверхности призмы $dfrac{309 + 154,5sqrt{3} - 6sqrt{888,25} + 3sqrt{2664,75} }{36}$ сантиметров квадратных

Дано: $MKNM_{1}K_{1}N_{1}$ - прямая треугольная призма, ∠NKM = 90°, KN = =KM, $NN_{1} = 3NK$ , $KMNK_{1}$ - пирамида , $S_{l} = 3,5$ сантиметров квадратных

Найти: $S_{p}$ - ?

Решение: Рассмотрим треугольник ΔNKM. Проведем высоту к стороне NM в точку H. Проведем отрезок $K_{1}H$ . По теореме о трех перпендикулярах, так как KH ⊥ NM по построению и $K_{1}K$ ⊥ KH, то

$K_{1}H$ ⊥ NM.

По формуле площади прямоугольного треугольника ΔMNK(по условию ∠NKM = 90° и KN = KM) $S_{bigtriangleup MNK} = NK * MK *0,5 = 0,5NK^{2}$ . Так как по условию $MKNM_{1}K_{1}N_{1}$ - прямая треугольная призма, то четырехугольники $NN_{1}K_{1}K$ и $MM_{1}K_{1}K$ - прямоугольники, тогда по свойству прямоугольников их противоположные стороны равны, а так как по условию KN = KM и сторона $KK_{1}$ - общая, то прямоугольник

KH ⊥ NM. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ΔKNM(по условию KN = NM, ∠NKM = 90°): $sin angle KNM = frac{HK}{NK} Longrightarrow HK =NK* sin angle KNM = NK * sin 45^{circ} = dfrac{NKsqrt{2} }{2}$ .

Рассмотрим прямоугольный( $KK_{1}$ ⊥ MNK по условию) треугольник

Δ $K_{1}KH$ . $text{ctg} angle K_{1}HK = dfrac{KH}{KK_{1}} = dfrac{dfrac{NKsqrt{2} }{2} }{frac{3NK}{1} } = dfrac{NKsqrt{2} }{6NK} = dfrac{sqrt{2} }{6}$ .

По следствию из основного тригонометрического тождества

$sin angle K_{1}HK = sqrt{dfrac{1}{1 + text{ctg}^{2} angle K_{1}HK} } = sqrt{dfrac{1}{1 + (dfrac{sqrt{2} }{6} )^{2} } } = sqrt{dfrac{dfrac{1}{1} }{1 +dfrac{2}{36} } } =$

$sqrt{dfrac{dfrac{1}{1} }{1 +dfrac{1}{18} } } =sqrt{dfrac{dfrac{1}{1} }{dfrac{18}{18}+dfrac{1}{18} } } = sqrt{dfrac{dfrac{1}{1} }{dfrac{19}{18} } } = sqrt{dfrac{18}{19} }$ .

Прямоугольный треугольник Δ $NKK_{1}$ = Δ $MKK_{1}$ по двум катетам, так как $KK_{1}$ - общая, MK = KM по условию, так как треугольники равны, то их площади равны. $S_{bigtriangleup NKK_{1}} = S_{bigtriangleup MKK_{1}} = NK * KK_{1} *0,5 = NK * NN_{1} * 0,5 = NK * 3 NK *0,5=$

$= 1,5NK^{2}$ . $S_{l} = S_{bigtriangleup NKK_{1}} + S_{bigtriangleup MKK_{1}} + S_{bigtriangleup MNK_{1}} Longrightarrow S_{bigtriangleup MNK_{1}} = S_{l} - S_{bigtriangleup NKK_{1}} + S_{bigtriangleup MKK_{1}} =$

$= 3,5 - 1,5NK^{2} - 1,5NK^{2} = 3,5 - 3NK^{2}$ . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ΔKNM. Так как KH - высота проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то по теореме KH является биссектрисой и медианой, тогда NM = 2NH = MH = $= 2 *dfrac{NKsqrt{2} }{2} = NKsqrt{2}$ . Пусть объем пирамиды $KMNK_{1}$ равен V.

$V = dfrac{S_{bigtriangleup NKM} * KK_{1}}{3} = dfrac{0,5NK^{2} * 3NK}{3} = 0,5NK^{3}$ .

$V = dfrac{2*S_{bigtriangleup NKM} * S_{bigtriangleup NMK_{1}} * sinangle K_{1}HK}{3NM} = dfrac{2 * 0,5NK^{2} * (3,5 - 3NK^{2})*sqrt{dfrac{18}{19} } }{3sqrt{2} NK}=$

$=dfrac{NK(3,5 -3NK^{2})* sqrt{18} }{sqrt{19} * 3sqrt{2} } =dfrac{NK(3,5 -3NK^{2})* sqrt{18} }{sqrt{19} * sqrt{18} } = dfrac{NK(3,5 -3NK^{2}) }{sqrt{19}} .$

$dfrac{0,5NK^{3}}{1} =dfrac{NK(3,5 -3NK^{2}) }{sqrt{19}}|*dfrac{sqrt{19} }{NK}$ . (NK > 0 как сторона призмы)

$NK *0,5sqrt{19} = 3,5 - 3NK^{2}$

$3NK^{2} + NK *0,5sqrt{19} - 3,5 = 0$

$D = (0,5sqrt{19} )^{2} - 4 * 3 * (-3,5) = 4,75 + 42 = 46,75$

Квадратное уравнение будет иметь только один корень, который удовлетворяет условию NK > 0.

$NK = dfrac{-0,5sqrt{19} +sqrt{46,75} }{2 * 3} = dfrac{sqrt{46,75}-0,5sqrt{19}}{6}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы:

$S_{p} = S_{NN_{1}K_{1}K} + S_{MM_{1}K_{1}K} + S_{NN_{1}M_{1}M} = 2S_{NN_{1}K_{1}K} + S_{NN_{1}M_{1}M} =$

$= 2 * NK * KK_{1} + NM * NN_{1} = 2 * NK * 3NK+ NKsqrt{2} * 3NK = NK^{2}(6 + 3sqrt{2} )=$

$=(dfrac{sqrt{46,75}-0,5sqrt{19}}{6})^{2}*(6 + 3sqrt{2} ) = dfrac{(sqrt{46,75}-0,5sqrt{19})^{2}(6 + 3sqrt{3} )}{36} =$

$=dfrac{(46,75 + 4,75 -sqrt{888,25} )(6 + 3sqrt{3} )}{36} = dfrac{(51,5 -sqrt{888,25} )(6 + 3sqrt{3} )}{36} =$

$=dfrac{309 + 154,5sqrt{3} - 6sqrt{888,25} + 3sqrt{2664,75} }{36}$ сантиметров квадратных.

372

Lakewood

Oct 22, 2021

Другие вопросы: - Геометрия