В равнобедренном треугольнике АВС на основании АВ взята точка D, равноудаленная от боковых сторон треугольника. Доказать, что СD - высота треугольника АВС.

Точка М равноудалена от АС и ВС, т. е. находится на равном от этих сторон расстоянии.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной орезка, проведенного перпендикулярно.

МК⊥АС, МН⊥ВС и КМ=МН

В прямоугольных ∆ АКМ и ∆ ВНМ равны острые углы А = В ( углы при основании равнобедренного треугольника), значит, равна и другая пара острых углов: ∠КМА=∠НМВ.

Катет КМ=катету МН ( по условию)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. =>

∆ АКМ =∆ ВНМ , следовательно, АМ=ВМ.

∆ АМС = ∆ ВМС по двум сторонам и углу между ними. =>

∠СМА=∠СМВ, они смежные и равны 180°:2=90° . ⇒

СМ - проведена из вершины угла треугольника к противоположной стороне, перпендикулярна ей, следовательно, СМ - высота треугольника АВС