Найдите высоту самого большого объемного цилиндра, нарисованного внутри полусферы площадью 27п. ​

: Н = √4,5 .

S сф = 4πR² ; 1/2 S сф =27π ; 2πR² = 27π ; R² = 27π/ 2π = 13,5 ;

R сф = √13,5 ;

шуканий циліндр має певну висоту Н і радіус основи R₁ . Якщо твірна

циліндра АА₁ , то АА₁ = Н і R² = R₁² + H² ; R₁² = R² - H² = 13,5 - H² ;

Об"єм циліндра V = πR₁²H = π ( 13,5 - H²)*H = 13,5πH - πH³ ;

для зручності позначимо Н = х , тоді

V ( x ) = 13,5πx - πx³ ; xЄ [ 0 ; √13,5 ] ;

дослідимо функцію V ( x ) :

V '( x ) = 13,5π - 3πx² = 3π (4,5 - x² ) ;

V '( x ) = 0 ; 3π (4,5 - x² ) = 0 ; -----> x² = 4,5 ; x = √4,5 ( x > 0 ) .

V '( 1 ) > 0 ; V '( 3 ) < 0 ; тому х = Н = √4,5 - максимум .

отже , висота найбільшоб"ємного впис . циліндра Н = √4,5 .