ОЧЕНЬ Ромб с углом 60∘ отразили относительно прямой, соединяющей середины его противоположных сторон, и получили второй ромб. Найдите отношение площади пересечения ромбов к площади их объединения.

Відповідь:

Площадь пересечения ромбов относится к площади объединения ромбов как 3/5.

Пояснення:

Ромб АВСД отразили относительно прямой ОО1, точки О и О1 являются соственно серединами отрезков АД и ВС. При этом получился ромб А1В1С1Д1.

Найдем площадь ромба АВСД.

Sp = h × a

h = a × cos 30° = a × sqrt (3) / 2

Sp = a^2 × sqrt (3) / 2

Найдем площать треугольника АД1О.

Str = 1/2 × a/2 × h/2 = a^2 × sqrt (3) / 16

Найдем площадь пересечения ромбов ОД1ВО1В1Д.

Sперес. = Sp - 2 × Str = a^2 × sqrt (3) / 2 × ( 1 - 1/4 ) = a^2 × sqrt (3) / 2 × 3/4

Найдем площадь объединения ромбов АС1О1СА1О.

Sобъед. = Sp + 2 × Str = a^2 × sqrt (3) / 2 × ( 1 + 1/4 ) = a^2 × sqrt (3) / 2 × 5/4

Найдем отношение площади пересечения ромбов к площади объединения ромбов.

Sперес. / Sобъед. = 3/4 / 5/4 = 3/5