Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, а боковая грань наклонена к основанию под углом 60 градусов. Найдите объём пирамиды.

Дано: SABC - прав. ∆пирамида,

@=60,. AB=a

V=?

Решение:

Vпир= 1/3*Sосн*h

В основании лежит правильный ∆, точка М , высоты SM, находится на пересечении медиан, которые являются биссектрисами и высотами к противолежащим сторонам ∆, а медианы точкой M пересечения делятся в соотношении 2:1 от вершины,

m=a√3/2

МА= 2/3*m=2/3*a√3/2= a√3/3

@=60

h=MA/tg60=a√3/3tg60=a√3/3√3=a/3

Sосн=1/2*am=1/2*a*a√3/2=a^2√3/4

V=1/3*Sосн*h

V=1/3*a^2√3/4*a/3=a^3√3/36