Вычислите y' и y'' для функции y(x) заданной неявно

lnx+lny=xy

1) y'

дифференцируем обе части

(lnx+lny)'=(xy)'

(1/x)+(1/y)=x'y+y'x

(1/x)+(1/y)=y+y'x (1) используем это равенство при нахождении y''

y'x=(1/x)+(1/y)-y

y'=[(1/x)+(1/y)-y]/x

y'=(1/x²)+(1/(xy))-(y/x) (2) используем это равенство при нахождении y''

2) y''

(1/x)+(1/y)=y+y'x (1)

((1/x)+(1/y))'=(y+y'x)'

((-1/x²)+(-y'/y²)=y'+y''x+y'

((-1/x²)+(-y'/y²)=2y'+y''x

y''x= ((-1/x²)+(-y'/y²)-2y'

y''= [((-1/x²)+(-y'/y²)-2y']/x

y''= ((-1/x³)+(-y'/xy²)-2y'/x

y''= ((-1/x³)-y'[(1/xy²)+(2/x)] подставим сюда y'=(1/x²)+(1/(xy))-(y/x) (2)

y''= ((-1/x³)-[(1/x²)+(1/(xy))-(y/x)]{(1/xy²)+(2/x)}