Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. AD= 16, высота SH= 15. Точка K— середина ребра SD, точка N — середина ребака DC. Плоскость KAB пересекает ребро SC в точке P. a) Доказать, что плоскость KAB делит SN пополам. б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS

Правильная пирамида

- в основании правильный многоугольник (ABCD - квадрат)

- боковые ребра равны, вершина проецируется в центр описанной окружности основания (H - пересечение диагоналей квадрата)

DC||AB => DC||(KAB)

Плоскость (SDC) проходит через прямую DC, параллельную плоскости (KAB), следовательно линия пересечения плоскостей KP параллельна DC.

a) Плоскость (KAB) пересекает грань SDC по прямой KP.

Пусть KP пересекает SN в точке E.

KE - средняя линия в △DSN по признаку (K - середина SD, KP||DC), E - середина SN.

б) KP||DC||AB => KP||(ABS)

Все точки прямой KP равноудалены от плоскости (ABS).

Найдем расстояние от E до (ABS).

Рассмотрим плоскость (SHN).

H - середина AC, HN - средняя линия в △ACD => MN||AD, M - середина AB (т Фалеса)

SM - медиана и высота (△ASB - р/б), SM⊥AB

SH⊥(ABC) => SH⊥AB

=> AB⊥(SMN) (AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости)

Опустим перпендикуляр EF на SM.

AB⊥(SMN) => EF⊥AB

=> EF⊥(ABS), EF - искомое расстояние.

SH=15, MN=AD=16, MH=8 (H - середина MN)

S(MSN) =1/2 MN*SH =120

E - середина SN, ME - медиана => S(MSE) =1/2 S(MSN)

SM =√(MH^2+SH^2) =17

S(MSE) =1/2 SM*EF =1/2 S(MSN) => EF*17=120 => EF=120/17