Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна 10 корень3 . При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?​

Відповідь:

Длина бокового ребра равна 10 единиц.

Длина грани основания равна 10√2 единиц.

Объем правильной четырехугольной призмы равен 2000 кубических единиц.

Пояснення:

Пусть грань основания - х, тогда длина бокового ребра:

h = √( (10*√3)² - х² ) = √( 300 - х² )

Объем правильной четырехугольной призмы:

V = х² * h = х² * √( 300 - х² ) (1)

Для определения максимального объема правильной четырехугольной призмы возмем производную от (1):

V' = -х³/(√( 300 - х² )) + 2х * (√( 300 - х² ))

V' = ( 2х * ( 300 - х² ) - х³ ) / (√( 300 - х² )) = 0 - в максимуме функции его производная равна 0.

600х - 2х³ - х³ = 600х - 3х³ = 0 (2)

Разделим (2) на (-3х):

х² - 200 = 0

х² = 200

х = 10√2 - длина грани основания.

h = √( 300 - х² ) = √( 300 - 200 ) = √100 = 10 - длина бокового ребра.

Найдем объем правильной четырехугольной призмы:

V = х² * h = 200 + 10 = 2000 кубических единиц.