Задание с конусом Вычислить наибольший объём конуса, если длина образующей равна 43,8 см:V = [пропуск] * √[пропуск] π см³

Question

Геометрия

Macovkin

3 year(s) ago

Задание с конусом Вычислить наибольший объём конуса, если длина образующей равна 43,8 см:V = [пропуск] * √[пропуск] π см³

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

V = 6224,272 * √3 π см³

Рассмотрим осевое сечение конуса (см. рис. ). SO — высота конуса (h), AO — радиус (r), AS — образующая конуса (43,8 см). Тогда по теореме Пифагора r² + h² = 43,8².

Объём конуса вычисляется по формуле $V=dfrac{1}{3}pi r^2h$ . Из предыдущего уравнения r² = 43,8² - h². Подставим это в уравнение объёма:

$V=dfrac{1}{3}pi (43{,}8^2-h^2)h=dfrac{43{,}8^2pi}{3}h-dfrac{pi}{3}h^3$

Найдём максимальное значение с помощью производной:

$V'(h)=dfrac{43{,}8^2pi}{3}-pi h^2\V'(h)=0Leftrightarrow dfrac{43{,}8^2pi}{3}=pi h^2Leftrightarrow h=pmdfrac{43{,}8}{sqrt{3}}$

Будем рассматривать только положительные значения h, так как отрицательной высота быть не может. При $0<h<dfrac{43{,}8}{sqrt{3}} V'(h)>0$ , при $h>dfrac{43{,}8}{sqrt{3}} V'(h)<0$ . Значит, $h=dfrac{43{,}8}{sqrt{3}}$ — точка максимума. При данном значении h объём конуса максимален.

$V_{max}=dfrac{1}{3}pileft(43{,}8^2-dfrac{43{,}8^2}{3}right)cdotdfrac{43{,}8}{sqrt{3}}=dfrac{1}{3}pi cdotdfrac{2}{3}cdot 43{,}8cdot 43{,}8cdotdfrac{43{,}8}{3}sqrt{3}=\=14{,}6cdot 2cdot 14{,}6cdot 14{,}6sqrt{3}pi=6224{,}272sqrt{3}pi$

257

Ariana

Oct 22, 2021

Задание с конусом Вычислить наибольший объём конуса, если длина образующей равна 43,8 см:V = [пропуск] * √[пропуск] π см³

Другие вопросы: - Геометрия