Геометрия. 10 класс. посчитайте ​

13

1) Так как призма является правильной, то:

a) в её основании лежит равносторонний треугольник АВС (см. рисунок):

АВ = ВС = АС = 8;

b) боковые рёбра АА₁, ВВ₁ и СС₁ перпендикулярны плоскости её основания АВС.

2) Пусть М - середина ребра ВС, тогда АМ является медианой равностороннего треугольника, а, следовательно, и его высотой, проведённой к стороне ВС.

3) А₁М является кратчайшим расстоянием от точки А₁ до точки М, так как в равнобедренном треугольнике СА₁В (А₁С = А₁В) А₁М является медианой, а, следовательно, и высотой, поэтому А₁М⊥ВС, а перпендикуляр - это кратчайшее расстояние от точки до прямой.

4) Высота h равностороннего треугольника рассчитывается по формуле:

h = a√3/2,

где а - длина стороны равностороннего треугольника.

Следовательно, высота АМ равностороннего треугольника АВС, проведённая из вершины А к стороне ВС, равна:

АМ = 8·√3/2 = 4√3

5) Так как АМ лежит в плоскости ΔАВС, то АА₁⊥АM (прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости), следовательно, ∠А₁АМ = 90°, а Δ А₁АМ - прямоугольный.

6) В прямоугольном треугольнике А₁АМ:

катет АМ = 4√3

катет А₁А = 11, согласно условию задачи (как боковое ребро);

А₁М - гипотенуза, которую необходимо найти.

Согласно теореме Пифагора:

А₁М = √(АМ²+А₁А²) = √[(4√3)²+11²] = √(16·3 +121) = √(48+121) = √169 = 13

: расстояние от вершины А₁ до середины ребра ВС равно 13.