висоти паралелограма, проведені до вершини з тупого кута дорівнюють 9 і 7. кут між висотами довірвнює 60° знайти площу паралелограма​

126/√3

Задание

Высоты параллелограмма, проведенные к вершине из тупого угла, равны 9 и 7. Угол между высотами равен 60°. Найти площадь параллелограмма.

Решение

Обозначим: параллелограмм АВСD (угол В - тупой);

ВF = 7 - высота к стороне АD;

BH = 9 - высота к стороне СD.

∠FBH = 60°.

Определение: высотой параллелограмма называется любой общий перпендикуляр двух его противоположных сторон.

1) Из определения высоты параллелограмма следует, что:

а) если ВF⊥АD, то ВF⊥ВС;

b) если BH⊥СD, то ВH⊥АВ.

2) Так как BF⊥AD и BH⊥AB, то углы ВАF и FBH - это углы со взаимно перпендикулярными сторонами, а, согласно теореме об углах со взаимно перпендикулярными сторонами, углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны. Это значит, что:

∠ВАF = ∠FBH = 60°.

3) В прямоугольном треугольнике ABF (АВ - гипотенуза, ВF и AF - катеты) катет BF = 7 лежит против угла ВАF = 60°.

Катет (ВF) равен гипотенузе (АВ), умноженной на синус угла (ВАF), противолежащего этому катету:

ВF = АВ · sin 60°

7 = АВ · √3/2

АВ = 7 · 2 / √3 = 14/√3

4) Площадь параллелограмма равна произведению основания (АВ) на высоту (ВН):

S = АВ · ВН = 14/√3 · 9 = 126/√3

: 126/√3